مقاله بررسی سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)

مقاله بررسی سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده) مقاله بررسی سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)

دسته : -علوم انسانی

فرمت فایل : word

حجم فایل : 151 KB

تعداد صفحات : 26

بازدیدها : 222

برچسبها : دانلود مقاله

مبلغ : 3000 تومان

خرید این فایل

مقاله بررسی سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)در 26 صفحه ورد قابل ویرایش

مقاله بررسی سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)در 26 صفحه ورد قابل ویرایش  

فهرست

 

عنوان                                                                                                               صفحه

1-1) مقدمه...................................................................................................... 2

2-1) عملیات ریاضی........................................................................................ 7

1-2-1) معكوس ضرب................................................................................... 10

3-1) سیستم اعدادمبنای در هم وابسطه......................................................... 12

4-1) تبدیل اعداد به سیستم اعداد مانده‌ای و برعكس..................................... 22

1-4-1-) تبدیل اعداد از سیستم باینری به سیستم مانده‌ای .......................... 24

5-1) انتخاب پیمانه........................................................................................... 26

 


سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)

سیستم اعداد مانده‌ای یك سیستم اعداد صحیح است، كه مهمترین ویژگی‌اش بطور ذاتی انتقال رقم نقلی مجازی در جمع و ضرب و تفریق‌هاست، همچنین نتجه جمع و تفریق و ضرب اعداد ما در مرحله اول بدون در نظر گرفتن طول اعداد مشخص می‌شود، متأسفانه در سیستم اعداد مانده‌ای عملیات ریاضی دیگری مانند تقسیم و مقایسه و شناسایی علامت خیلی پیچیده و كند هستند از مشكلات دیگر سیستم اعداد مانده‌ای این است كه چون با سیستم اعداد صحیح كار می‌كند در نتیجه نمایش اعداد اعشاری در سیستم اعداد مانده‌ای خیلی ناجور است با توجه به خواص سیستم اعداد مانده‌ای نتیجه می‌گیریم كه در اهداف عمومی كامپیوترها (ماشین حساب‌ها) به صورت كاملاً جدی نمی‌تواند مطرح بشود. بهرحال ، برای بعضی از كاربرها كه اهداف خاصی دارند مثل بسیاری از انواع فیلترهای دیجیتال، تعداد جمع و ضرب‌هایی كه اساساً بزرگتر تعداد و درخواست بزرگی دامنه و شناسایی سرریز، تقسیم و شبیه این‌ها، سیستم اعداد باقیمانده خیلی جذاب و جالب می‌تواند باشد.

1-1) مقدمه

سیستم اعدادمانده‌ای اساساً بوسیله یك مبنای چندتائی (N - تائی) و نه یك مبنای واحد مثل  از اعداد صحیح مشخص می‌شود. هر كدام از ها باقیمانده پس از تقسیم یك عدد بر آن‌ها است.عدد صیح X در سیستم اعداد مانده‌ای بوسیلة یك N -تائی مثل  نمایش داده می‌شود كه هر  یك عدد غیرمنفی صحیح است كه در رابطة زیر صادق است:

 

 

 

X

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

جدول 1-1 نمایش اعداد در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة‌

 بزرگترین عدد صحیحی است بطوریكه  معروف است به باقیمانده X به پیمانة Mi ، و در روش نوشتن اعداد  هر دو و با یك مفهوم استفاده می‌شوند.

مثال 1-1 سیستم اعدادمانده‌ای 2- باقیمانده‌ای با پیمانه‌های  را ملاحظه كنید در این سیستم نمایش عدد صحیح x=5 به صورت  نمایش داده می‌شود كه  و  از رابطه‌های زیر بدست می‌آیند.

                     چونكه                    

                     چونكه                    

بنابراین در این سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانه‌های  و  عدد صحیح 5 به صورت (2,1) نشان داده می‌شود.

عدد X لزوماً نباید یك عدد صحیح مثبت باشد بلكه  می‌تواند عدد صیح منفی هم باشد برای مثال اگر X=-2 باشد آنگاه

                                                   چونكه                     

                             چونكه                    

نكته‌ای كه در اینجا وجود دارد این است كه  ها مثبت تعریف می شوند .

بنابراین عدد صیح -2 در سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانه‌های  و  بصورت  نمایش داده می‌شود.

جدول 1-1 اعداد صحیح در محدودة [-4,8] را در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة  نمایش داده است.

همانطور كه از جدول 1-1 مشخص است نمایش مانده‌ای یك عدد صحیح منحصر بفرد است در حالی كه بر عكس این مطلب درست نیست و نمایش صحیح دو یا چند عددمانده‌ای ممكن است یكسان باشد برای مثال نمایش صحیح (1،1) هم عد یك می‌شود و هم عدد هفت، پس در نتیجه ما باید دامنة اعدادی را كه نمایش داده می شوند  محدود كنیم، همنطور كه از جدول 1-1 مشخص می‌شود نمایش مانده‌ای دوره‌ای است و تكرار می‌شود  و در اینجا محدودة تكرارش شش است، ما در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة فقط شش نمایش مختلف دادیم چونكه  دو مقدار مختلف  سه مدقار مختلف می‌توانند به خود  بگیرند، بنابراین ما باید ناحیة نمایش را به شش عدد محدود بكنیم، دو ناحیة‌ممكن  در جدول مشخص شده‌اند، اولی  و دومی  است.

در حالت كلی در سیستم اعدادمانده‌ای می‌توان گفت كه تعداد نمایش‌های غیرتكراری برابر است با كوچكترین مضرب مشترك پیمانه‌‌ها، كه به صورت زیر نمایش داده می‌شود.

 

و از همین عنصر برای محدود كردن ناحیة نمایش استفاده می‌كنیم.

كوچترین مضرب مشترك پیمانه‌ها كوچكترین عدد است كه همة پیمانه‌ها بر  آن تقسیم می شوند . برای مثال كوچكترین مضرف مشترك اعداد 2 و 3 عدد 6 می‌شود.  ولی كوچكترین مضرب مشترك اعداد 2 و 4 عدد 4 می‌شود  . بزرگترین ناحیة ممكن عبارت است از حاصلظرب همة پیمانه‌ها در  همدیگر 

 

و برای بدست آوردن بزرگترین ناحیة ممكن ما باید پیمانه‌ها را دو به دو نسبت به هم اول انتخاب كنیم، دو پیمانة  و  را نسبت به هم اول گوییم اگر كه بزرگترین مقسوم علیه مشترك آنها یك باشد. و معمولاً به این شكل می‌نویسیم  

برای مثال اعداد 4 و 9 نسبت به هم اول و هستند اگر چه خودشان هیچكدام عدد اول نیستند و اعداد 4 و 24 نسبت به هم اول نیستند چونگه بزرگترین مقسوم علیه مشترك آنها عدد  4  می‎باشد اگر دو عدد خودشان اول باشند قطعاً نسبت به هم نیز اول هستند مثلاً اعداد 2 و 3 و یا 5 و 7 و …….

حال ما  عدد M را بدست آورده‌ایم، حال ما می توانیم یك ناحیة M تائی  از اعداد صحیح را به عنوان محدودة نمایش سیستم اعداد مانده‌ای مربوطه در نظر گرفت، اگر كه اعداد صحیح مثبت احتیاج داشته باشیم می‌توان ناحیه [O,M-1] را در نظر گرفت و اگر درجائی دیگر اعداد منفی هم مطلوب بودند می‌توانیم ناحیه را به این  صورت تعریف كنیم كه اگر M زوج باشد  و اگر M فرد باشد.  .

اگر به جدول 1-1 نگاه  كنیم و ناحیه [0,5] را بررسی كنیم متوجه می‌شویم كه هیچ دو عددی از آن شبیه هم نیستند.

11 انتخاب پیمانه

ما ممكن است از انتخاب پیمانه های مختلف برای هر یك سیستم اعداد مانده ای اهداف مختلفی داشته باشیم اگر كه هدفمان كم كردن زمان اجرای جمع و ضرب باشد آنگاه تعداد زیاد پیمانه كوچك بهتر از تعداد كم پیمانه بزرگ است مثلا یك سیستم اعداد مانده ای با پیمانه  برای  برای جمع و ضرب مناسب تر از یك سیستم اعداد مانده ای با پیمانه  است، اگر توجه كرده باشیم هر دو این سیستم ها  دارند ولی به این خاطر سیستم اول بهتر است چونكه زمان اجرای جمع و ضرب به زمان اجرا بزرگترین عدد وابسطه است بهر حال از طرف دیگر تعداد زیاد پیمانه كوچك نسبت به تعداد كم پیمانه بزرگ برای تبدیل سیستم اعداد مانده ای به سیستم اعداد مبنای در هم وابسطه زمان اجرایش طول می كشد، چونكه این تبدیل یك پروسه است كه تعداد مراحلش بوسیله تعداد پیمانه ها مشخص می شود، و اینگونه تبدیلات را هم برای اعمالی مثل شناسایی علامت وشناسایی سرریز و دامنه مقایسه نیاز داریم.

نكته دیگر كه در انتخاب پیمانه باید دقت كنیم این واقعیت است كه باقیمانده ها باید به طور عادی كد شده باشند در بعضی كد باینری و عملیات ریاضی روی باقیمانده ها باید اجرا شود مشابه نمایش باینری.

بنابراین ما اهداف زیر را دنبال می كنیم:

1-   مجموع تعداد بیت ها تشكیل دهنده پیمانه ها در سیستم اعداد باینری باید كم باشد.

2-   برای سادگی اجرای عملیات ریاضی روی آنها، كد باینری راحتی داشته باشند.

كوچكترین تعداد بیتی كه برای نمایش پیمانه  در سیستم اعداد دودویی نیاز است برابر است با   بنابراین ما ماكزیمم استفاده در حافظه را موقعی كه پیمانه ها توانی از 2 باشند مثلا  و یا خیلی نزدیك به این مثل .

به روشنی مشخص است كه پیمانه هایی كه انتخاب می كنیم فقط یكی شان می تواند توانی از دو باشد چونكه طبق تعریف اولیه باید دو به دو نسبت به هم اول باشند ما پس از اینكه  را انتخاب كردیم انتخاب های بعدی مان را می توانیم به صورت  انجام داد كه البته باز هم مقدار كمی پیمانه به شكل  می توانیم انتخاب كنیم ، چونكه به عنوان مثال اگر k زوج باشد آنگاه :

 

و در نتیجه  و  نسبت به هم اول نیستند و همچنین برای بعضی مقادیر فرد k ،  ممكن است قابل فاكتور گیری باشند.

پیمانه های انتخاب شده باید در حد امكان نزدیك به هم باشند و همچنین از انتخاب
پیمانه های خیلی بزرگ خودداری كنیم كه رعایت این عوامل باعث كم شدن زمان اجرا
می شود.

 

 

خرید و دانلود آنی فایل

به اشتراک بگذارید

Alternate Text

آیا سوال یا مشکلی دارید؟

از طریق این فرم با ما در تماس باشید