مقاله علم احتمال در 22 صفحه ورد قابل ویرایش 

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                              صفحه

تاریخچه................................................................................................................. 1

احتمال.................................................................................................................... 4

احتمال نظری......................................................................................................... 5

احتمال تجربی........................................................................................................ 5

احتمال ذهنی.......................................................................................................... 6

محاسبه احتمال...................................................................................................... 6

جمع حوادث سازگار............................................................................................. 7

ضرب حوادث مستقل............................................................................................ 7

ضرب حوادث وابسته............................................................................................ 8

اصول اساسی قانون ضرب.................................................................................. 9

جایگشت (تبدیل)..................................................................................................... 11

ترتیب..................................................................................................................... 13

قاعده ترتیب........................................................................................................... 14

تركیب.................................................................................................................... 15

ویژگیهای تركیب.................................................................................................... 18

توصیف احتمال یك حادثه..................................................................................... 18

خلاصه................................................................................................................... 19

تاریخچه

هیچ كس نمی داند كه اعتقاد به شانس برای نخستین بار در چه زمانی و مكانی مطرح شد. در هر حال این امر در دوران ماقبل تاریخ ریشه دارد. با این حال، اسناد كافی نشان می دهد كه انسانهای اولیه برای توجیه حوادث تصادفی به وسایلی متوسط می شده اند. برای مثال در آسیای صغیر در آیین پیشگویی مرسوم بود كه پنج قاپ را بیندازند. ترتیب ممكن از قاپها، نام خدایی را به همراه داشت (ماركس و لارسن، 1990). برای مثال چنانچه ترتیب (4، 4، 3، 1) به دست می آمد (قاپ شش وجه دارد و به هر وجه آن یك شماره اختصاص داده می شد). گفته می شد زئوس منجی آمده است و چنین ترتیبی پنشانی از قوت قلب تلقی می شد و تفسیر آن این بود كه آنچه در سر داری،‌ بی مهابا به انجام برسان. یا اگر ترتیب 4، 4، 4، 6، 6 ظاهر می شد معنای آن این بود كه در خانه ات بمان و به هیچ كجا مرو.

به تدریج پس از گذشت هزاران سال، تاس جانشین قاپ شد. در مقبره های مصر كه 2000 سال پیش از میلاد مسیح ساخته شده اند، تاسهای سفالی به دست آمده اند. متداول ترین تاس بازی آن زمان هازاد نام داشت. هازاد توسط سربازانی كه از جنگهای صلیبی بازگشتند، به اروپا آورده شد. ورق برای نخستین بار در قرن چهاردهم رواج پیدا كرد.

مورخان در مورد این كه اعتقاد به احتمال شروع نامشخصی دارد اتفاق نظر دارند. شاید دلیل این امر ناسازگاری آن با عامل بارز موثر در تحول فرهنگ غرب، یعنی فلسفه یونان و خداشناسی مسیحیان در صدر مسیحیت باشد. یونانیان به عقیده شانس اكتفا می كدرند در صورتی كه مسیحیان چنین اعتقادی نداشتند. در قرن شانزده احتمال سر از خاك برداشت. سازماندهی و احیا آن توسط جرولامو كاردان انجام گرفت. علاقه كاردان كه ظاهراً تحصیلاتی در رشته پزشكی داشت، به قوانین احتمال، ناشی از میل وافر او به قمار بود. او در صدد دستیابی به یك الگوی ریاضی بود تا با كك آن بتواند حوادث اتفاقی را تشریح كند. آنچه كه او سرانجام تدوین كرد تعریف كلاسیك احتمال است. به این صورت كه در صورتی كه تعداد نتایج ممكن حادثه ای كه همه دارای احتمال یكسان هستند را با n نشان دهیم و چنانچه m نتیجه از n نتیجه ممكن اتفاق بیفتد، احتمال آن حادثه مساوی  است. برای مثال در صورتی كه تاسی بدون اریبی باشد،‌ 6 ممكن (6= n) خواهد شد (نتایج 5 و 6) و احتمال 5 یا بزرگتر از آن مساوی  یا  خواهد بود.

كاردان ابتدایی ترین اصول احتمال را مطرح كرده بود. الگویی كه او كشف كرده بود ممكن است پیش پا افتاده به نظر برسد اما حاكی از گامی عظیم بود. بسیاری از مورخان نقطه آغاز علم احتمال را سال 1654 می دانند. در پاریس قمار باز ثروتمندی به نام شوالیه دمور از چند ریاضی دان برجسته از قبیل بلز پاسكال سوالهایی پرسید كه معروفترین آنها درباره نقاط بود.

دو نفر، الف و ب، موافقت می كنند كه بدون تقلب مجموعه ای بازی را تا زمانی كه یك نفر از آنها شش دست برنده شود، ادامه دهند. هر كدام از این دو نفر بر سر مبلغ یكسانی شرط بندی می كنند با این قصد كه برنده كل، تمام مبلغ شرط بندی (بانك) را برنده شود. حال فرض كنید به هر دلیلی این بازیها قبل از موقع پایان پذیرد، مثلا در نقطه یا مرحله ای كه فرد الف 5 دست و فرد ب 3 دست برنده شده باشد. در این مرحله یا نقطه از بازی، پول شرط بندی شده چطور باید تقسیم شود؟ پاسخ صحیح این است كه فرد الف باید  كل مبلغ شرط بندی شده را دریافت كند. چرا مبلغ شرط بندی شده باید به این ترتیب تقسیم شود؟

با طرح سوالهای دمور، حس كنجكاوی پاسكال برانگیخته شد و نظر خود را با پیر فرما، كارمند دولت و احتمالاً برجسته ترین ریاضی دان اروپا، در میان گذاشت. فرما با روی گشاده از نظر پاسكال استقبال كرد و از همان موقع بود كه نظریه معروف تناظر پاسكال- فرما نه تنها برای حل مسائل نقاط مطرح شد بلكه شالوده ای برای كارهای اساسی تر گردید.خبر آنچه كه فرما و پاسكال یافته بود انتشار یافت و دیگران هم به مطالعه این مساله پرداختند. معروفترین آنها دانشمند و ریاضی دان هلندی كریستیان های جنز است كه نام او بیشتر به خاطر كارهایش در نورشناسی و نجوم در خاطرها مانده است. توجه های جنز در همان اوایل كارش به مسائل نقاط جلب شد. وی در سال 1657 كتاب محاسبات در بازیهای احتمالی را منتشر ساخت كه قریب 50 سال به عنوان كتاب درسی درباره نظریه احتمال تدریس می شد (لارسن و ماركس، 1990). طرفداران های جنز او را بنیانگذار احتمالات می دانند.

قاعده ترتیب

فرض كنید n عنصر كاملا متمایز وجود دارد . به چند طریق می توان از آنها دسته های r تایی تشكیل داد؟ همان طور كه قبلا بحث شد، به طور كلی n عنصر متمایز را در (1) (2)(3) … (2-n) (1-n) n صورت مختلف می توان مرتب كرد كه به آن تبدیل یا جایگشت گفته می شود و آنرا با n! نشان می دهند. اما تعداد دسته های r تایی كه می توان از مجموعه ای از عناصر متمایز انتخاب كرد به شرطی كه هر عنصر بیش از یكبار تكرار نشده باشد به صورت _nP_r نشان داده می شود و تعداد آن مساوی است با :

(2-9)                                                                            

مثال:

مجموعه {A , B , C , D , E, F , G} را در نظر بگیرید. با حروف تشكیل دهنده این مجموعه چند كلمه چهار حرفی (اعم از بامعنی یا بی معنی) می توان ساخت؟

تركیب:

ترتیب و تبدیل همیشه در مجموعه و اشیا شاخص معناداری نیستند. هنگامی كه 5 كتاب مختلف داشته باشیم نحوه چیدن آن 5 كتاب تغییری در ماهیت كتابها نخواهد داد. مجموعه اشیا یا عناصر بدون ترتیب را تركیب تعداد r می نامند. اگر از n عنصر به صورتی گروهها یا دسته های r تایی تنظیم كنیم كه هر دسته با دسته دیگر لااقل در یك عنصر تفاوت داشته باشد، صورتهایی را كه به این ترتیب درست می شوند تركیبهای r تایی n شی گویند.